Перевод в комплексную форму в электротехнике

Как преобразовать мгновенную форму записи в комплексную и обратно

В общем случае мгновенная форма записи любой величины выглядит следующим образом:

Эта запись показывает как меняется та или иная величина в зависимости от времени. Вместо синуса может быть косинус, это ничего в дальнейших действиях не меняет.

Обратим внимание, что перед тригонометрической фунцкией всегда записывается амплитудное (то есть максимально возможное значение) величины. При этом в электротехнике в большинстве случаев расчеты ведутся в действующих, а не амплитудных значениях. Если нужны амплитудные, то это указывается в условиях задания.

Проще всего от мгновенной формы сразу перейти к показательной форме записи комплексного числа. Для этого запишем модуль числа, умноженный на «e», в стемени которой указан угол начальной фазы «ф»:

Разумеется, это будет амплитудное значение. Чтобы перевести в действующее достаточно вспомнить, что оно меньше амплитудного в √2 раза, тогда получим:

Рассмотрим пример. Задано мгновенное значение тока цепи:

Необходимо записать в комплексной форме его действующее значение. Как указано выше, запишем:

Как видите, множитель 314 перед переменной времени «t» в преобразованиях не участвует.

Преобразование из показательной формы записи комплексного числа в мгновенную форму производится, используя те же вычисления в обратном порядке. Предположим, задано действующее значение напряжения:

Сначала определим амплитудное значение напряжения, умножив модуль действующего значения на √2:

Записываем мгновенную форму, используя рассчитанную амплитуду и угол начальной фазы, известный из показательной формы записи:

Циклическую частоту цепи ω определить из комплексного числа невозможно, поэтому ее или просто записывают греческой буквой «омега» или определяют из дополнительных условий — например, из указанной частоты цепи.

Итак, простой алгоритм перевода мгновенной формы записи величины в показательную форму комплексного числа:

  • Определяем модуль действующего значения, разделив амплитудное значение на √2
  • Записываем итоговое выражение, используя фазовый угол из начальной фазы для мгновенного значения

    И последнее — вы наверняка обратили внимание, что мы переводим в показательную форму записи. Что же делать, если надо переводить в алгебраическую? Все очень просто — сначала переводим в показательную, а потом уже из нее, по формуле Эйлера, в алгебраическую. Об этом подробно мы уже писали:

    Источник

    Как преобразовать показательную форму записи величины в алгебраическую

    В общем случае алгебраическая форма записи комплексной величины выглядит следующим образом:

    Но это математическая запись. В электротехнике принято мнимую единицу обозначать не «i», а буквой «j» (это сделано для того, чтобы не было путаницы с токами, которые чаще всего и обозначаются латинской буквой «i»). Тогда в электротехнике вы скорее всего увидите запись:

    При этом мнимая единица может стоять как первым множителем, так и вторым. То есть это же число можно записать:

    Часть комплексного числа без мнимой единицы называется «Действительной» и чаще всего обозначается Re (от английского Real — действительный, настоящий)

    Часть комплексного числа с мнимой единицой называется также «Мнимой» и обозначается Im (от английского Imaginary — воображаемый)

    Что касается показательной формы записи, то в она обычно выглядит так:

    Здесь буква «А» — модуль величины, буква «е» ничего не значит и просто указывает, что это показательная форма записи (так как остальные данные записаны в показатель степени). Буква «j» в степени тоже просто обозначает комплексное число, а вот «φ» — это угол в градусах или радианах.

    Чтобы легко понять как эти формы записи связаны друг с другом, достаточно рассмотреть изображение вектора на комплексной плоскости:

    Очевидно, что такой вектор можно задать, указав его длину и угол поворота — это и есть показательная форма записи комплексных числел. То, что в нашем примере обозначено буквой «А» — длина вектора, а число в показателе степени — угол поворота

    Еще один споосб точного описания вектора — указать его проекции на координатные оси. Например «отложим пять единиц по горизонтальной оси и три по вертикальной». Именно так и работает алгебраическая форма записи:

    Очевидно — чтобы перевести из показательной формы записи в алгебраическую, нужно определить проекции вектора на оси координат. Известно, что косинус угла есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:

    Отсюда действительная часть комплексного числа:

    Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе:

    Значит, мнимая часть комплексного числа:

    Разберем пример. Пусть задано напряжение в показательной форме:

    Определим действительную часть алгебраической формы записи:

    Теперь мнимую часть:

    В принципе, все. Можно записать результат (не забывайте к мнимой части дописывать указатель мнимой единицы — j или i):

    В качестве итога, запишем алгоритм перевода показательной формы записи комплексного числа в алгебраическую:

  • Определяем действительную часть числа, умножив его модуль на косинус угла.
  • Определяем мнимую часть числа, умножая его модуль на синус угла
  • Записываем итоговое выражение в виде суммы двух значений.
    Как видите — ничего сложного.

    Источник

    Перевод в комплексную форму в электротехнике

    Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.

    В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

    Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, — периодом Т. Для периодического тока имеем

    , (1)

    Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц):

    , (2)

    Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01 ¸ 10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000 ¸ 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц .

    Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:

    i — мгновенное значение тока ;

    u – мгновенное значение напряжения ;

    е — мгновенное значение ЭДС ;

    р — мгновенное значение мощности .

    Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m ) .

    — амплитуда тока;

    — амплитуда напряжения;

    — амплитуда ЭДС.

    Действующее значение переменного тока

    Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:

    , (3)

    Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

    Синусоидально изменяющийся ток

    Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.

    Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений
    и токов на плоскости декартовых координат

    Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

    Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е1 и е2 соответствуют уравнения:

    .


    Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени ( t =0): и начальной фазой ( ).

    Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на рад., то угловая частота есть , где f– частота.

    При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

    Для синусоидальных ЭДС е1 и е2 угол сдвига фаз:

    .

    Векторное изображение синусоидально
    изменяющихся величин

    На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w . Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени ( t =0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w . Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

    Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток равен сумме токов и двух ветвей:

    .

    Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

    и .

    Результирующий ток также будет синусоидален:

    .

    Определение амплитуды и начальной фазы этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.

    На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t =0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным .

    Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

    .

    Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения и из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения путем формального учета угловой частоты: .

    Представление синусоидальных ЭДС, напряжений
    и токов комплексными числами

    Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

    Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

    показательной

    тригонометрической или

    алгебраической формах.

    Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

    .

    Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

    .

    В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

    , (4)

    Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

    , (5)

    Параметр , соответствующий положению вектора для t =0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр комплексом мгновенного значения.

    Параметр является оператором поворота вектора на угол w t относительно начального положения вектора.

    Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ± a .

    Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды и оператора поворота :

    .

    Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

    , (6)

    Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

    ,

    — то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу , т.е. угол, который образует вектор с положительной полуосью +1:

    .

    Тогда мгновенное значение напряжения:

    ,

    где .

    При записи выражения для определенности было принято, что , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если , то при (второй квадрант)

    , (7)

    а при (третий квадрант)

    (8)
    (9)

    Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

    .

    Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

    Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока по рис. 5 получим:


    где
    ;

    .

    Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

    В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока запишем:

    .

    Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в раз:

    . (10)

    Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения

    .

    1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

    2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

    Контрольные вопросы и задачи

    1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?

    2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?

    3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?

    4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока записать соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений.

    5. На рис. 5 , а . Определить .

    Ответ: .

    Источник

  • Поделиться с друзьями
    admin
    Оцените автора
    ( Пока оценок нет )
    Как переводится?
    Adblock
    detector